Proof

axiom : 공리

• 어떤 다른 명제들을 증명하기 위해 전제로 사용되는 가장 기본적인 가정. 별도의 증명 없이 참으로 이용되는 명제를 공리라고 함.

• 예시

  • 두 점이 주어졌을 때, 두 점을 통과하는 직선을 그릴 수 있다.
  • 어떤 자연수도, 그 수의 다음 수가 존재한다.
  • 어떤 것도 포함하지 않는 집합이 존재한다.

proof : 증명

• 특정한 공리들을 가정하고, 그 가정하에 제안된 명제가 참임을 입증하는 작업.

theorem : 정리

• 공리로부터 증명된 명제를 정리라고 한다.
  • 보조정리(lemma) : 정리를 증명하기 위한 과정 중에 사용되는 명제
  • 따름정리(corollary) : 정리로부터 쉽게 도출되는 부가적인 명제
• 예시
  • 피타고라스의 정리 : 임의의 직사격형에서 빗변 길이의 제곱은 밑변 길이의 제곱과 높이 길이의 제곱을 합한 것과 같다.
  • 페르마의 마지막 정리 : n이 2보다 큰 자연수일 때, xⁿ + yⁿ = zⁿ을 만족하는 0이 아닌 정수해(x, y, z)는 존재하지 않는다.
  • 유클리드 정리 : 소수는 무한히 많다.
• 증명기법
  • 직접증명법 : 공리와 정의, 정리를 논리적으로 직접 연결하여 증명한다.
  • 수학적 귀납법 : 자연수 n에 대한 명제의 성질을 증명하는 데 유용한 방법, 기본단계, 귀납가정, 귀납단계를 이용
  • 간접증명법 : 증명해야 할 명제를 증명하기 쉬운 형태로 변형하여 증명하는 방법.